# New PDF release: Applications to Fourier series (2005)(en)(4s)

By Garrett P.

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Example text

Man skizziere die Graphen der Funktionen f : R −→ R 1 , x −→ 1+x 2 g : R −→ √ R , x −→ x in [0, 2] und gebe ein Intervall der L¨ange 10−3 an, in dem x0 liegt. § 12 Logarithmus und allgemeine Potenz Aufgabe 12 A. a) Seien I, J ⊂ R Intervalle und g : I −→ R, f : J −→ R Funktionen mit g(I) ⊂ J. Man zeige: i) Sind f und g beide streng monoton wachsend oder beide streng monoton fallend, so ist f ◦ g streng monoton wachsend. ii) Ist eine der beiden Funktionen f und g streng monoton wachsend und die andere streng monoton fallend, so ist f ◦ g streng monoton fallend.

Sei f : [a, b] −→ R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, M := sup{| f (x)| : a ≤ x ≤ b}. Ferner sei n > 0 eine nat¨urliche Zahl, 1 h := b−a n , xk := a + k − 2 h, k = 1, . , n und Sn ( f ) = n ∑ f (xk )h. k=1 46 Aufgaben Man zeige Zb f (x) dx − Sn ( f ) ≤ (b − a) a M 2 h . 24 (Anleitung: Man beweise dazu die Absch¨atzung f (xk + ξ) − f (xk ) − f (xk )ξ ≤ f¨ur alle ξ ∈ R mit |ξ| ≤ h 2 M 2 ξ 2 und alle k ∈ {1, . . ) Aufgabe 19 S*. Man beweise die Keplersche Fassregel: F¨ur jede 4-mal stetig differenzierbare Funktion f : [−1, 1] → R gilt Z 1 −1 f (x) dx = 1 f (−1) + 4 f (0) + f (1) + R.

Aufgabe 19 R. Sei f : [a, b] −→ R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, M := sup{| f (x)| : a ≤ x ≤ b}. Ferner sei n > 0 eine nat¨urliche Zahl, 1 h := b−a n , xk := a + k − 2 h, k = 1, . , n und Sn ( f ) = n ∑ f (xk )h. k=1 46 Aufgaben Man zeige Zb f (x) dx − Sn ( f ) ≤ (b − a) a M 2 h . 24 (Anleitung: Man beweise dazu die Absch¨atzung f (xk + ξ) − f (xk ) − f (xk )ξ ≤ f¨ur alle ξ ∈ R mit |ξ| ≤ h 2 M 2 ξ 2 und alle k ∈ {1, . . ) Aufgabe 19 S*. Man beweise die Keplersche Fassregel: F¨ur jede 4-mal stetig differenzierbare Funktion f : [−1, 1] → R gilt Z 1 −1 f (x) dx = 1 f (−1) + 4 f (0) + f (1) + R.