Analysis - Arbeitsbuch: Bezüge zwischen Schul- und - download pdf or read online

By Thomas Bauer

ISBN-10: 383481914X

ISBN-13: 9783834819147

ISBN-10: 3834823120

ISBN-13: 9783834823120

Schulmathematik und universitäre Mathematik – zwei getrennte Welten? Das vorliegende Buch begegnet dieser Frage mit einem neuen Konzept: Es bietet Schnittstellenaufgaben, die in den zentralen Themenbereichen der research vielfältige Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik herstellen und diese für das Mathematiklernen nutzbar machen.

- Schnittstellenaufgaben greifen Vorstellungen aus der Schulmathematik auf und nutzen diese, um Begriffsbildungen und Konzepte der Hochschulmathematik besser zu verstehen.

- Umgekehrt zeigen sie, dass die Instrumente der Hochschulmathematik Möglichkeiten bieten, Schulmathematik tiefer zu durchdringen und sie auch dort zu erklären, wo in der Schule Plausibilitätsbetrachtungen genügen müssen.

Ausführliche kommentierte Lösungsvorschläge unterstützen dabei den Lernprozess.

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Example text

Skizzieren Sie die Situation f¨ ur einige Werte von x (bei festgehaltenem a) und beschreiben Sie Ihre Erwartung, wie sich f(x) bei wachsendem x entwickeln wird. Geben Sie dann an, welche Antworten Sie aus dem Sachzusammenhang heraus intuitiv auf folgende Fragen erwarten: (i) Existiert limx→0 f(x) und welchen Wert hat der Grenzwert? (ii) Existiert limx→∞ f(x) und welchen Wert hat der Grenzwert? (iii) Ist f eine monotone Funktion? ¨ berpr¨ b) Algebraisch und analytisch argumentieren. U ufen Sie nun Ihre in (a) gefundenen Vermutungen durch eine exakte Argumentation: Beschreiben Sie dazu f durch einen algebraischen Ausdruck und untersuchen Sie die betrachteten Grenzwerte durch analytische Argumentation.

Zwei Hinweise: • Um auf Differenzierbarkeit schließen zu k¨ onnen, gen¨ ugt es nicht, dass eine Folge (an ) mit an → a existiert, f¨ ur die sich die zugeh¨ orige Folge der Sekanten einer Grenzgerade ann¨ ahert. Vielmehr muss diese Eigenschaft f¨ ur alle solchen Folgen (an ) erf¨ ullt sein (siehe Abb. 1). • Dass sich die Sekanten einer Grenzgerade ann¨ ahern, die parallel zur y-Achse 56 2. Differenzierbare Funktionen ta Gf Gf ta a a Abb. 2: Dass eine Tangente ta den Graphen Gf nur in einem einzigen Punkt schneidet, kann im ersten Augenblick plausibel klingen, wenn man an quadratische Funktionen wie in der linken Abbildung denkt.

Welcher Reihenwert erg¨ abe sich auf diese Weise? Wie kann derselbe Trick, der oben zum richtigen Ergebnis f¨ uhrt, hier ein so absurdes Ergebnis liefern? ¨ berlegen Sie genau: Warum kann die eingangs angestellte U ¨ berlegung, die b) U 1 1 aus (∗) und (∗∗) zum korrekten Wert der Reihe 1 + 2 + 4 + . . f¨ uhrt, nicht den »herk¨ ommlichen« Weg zur Ermittlung dieses Reihenwerts ersetzen? 32 1. Funktionen, Folgen und Grenzwerte ¨ berlegung aber nutzen, um einen Beweis c) Wie kann man die angestellte U der Summenformel n 1 − qn+1 qi = 1−q i=0 f¨ ur q = 1 zu geben?

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Analysis - Arbeitsbuch: Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik – sichtbar gemacht in Aufgaben mit kommentierten Lösungen by Thomas Bauer


by David
4.1

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