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By Otto Forster

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5. Der Winkel ϑ ist also bestimmt durch die Gleichung cos ϑ = f (t1), g (t2) f (t1) · g (t2) g (t2 ) f ϑ mit 0 π. 5 Bogenl¨ange Sei [a, b] ⊂ R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] → Rn eine Kurve. Unterteilt man das Intervall a = t0 < t1 < . . < t k = b und verbindet die Punkte f (ti−1) mit f (ti ), f¨ur i = 1, 2, . 6. Die L¨ange dieses Polygonzugs ist gleich k p f (t0, . . ,tk ) := ∑ f (ti) − f (ti−1 ) . i=1 Die L¨ange der Kurve wird nun deﬁniert als Grenzwert der L¨angen der Polygonz¨uge bei immer feineren Unterteilungen.

4) Sei n Die Funktion F ist aber auch an der Stelle x = 0 partiell differenzierbar mit ∂F F(hei ) − F(0) = 0, (0) = lim h→0 ∂xi h da F(hei ) = 0 f¨ur alle h ∈ R. Daraus folgt, dass F in ganz Rn partiell differenzierbar ist. F ist aber im Nullpunkt nicht stetig. Betrachten wir etwa die Werte von F auf der gegen 0 konvergierenden Punktfolge 1 1 , . , , k k k √ Es gilt r(ak ) = n/k, also ak := 1. (1/k)n F(ak ) = √ = n−n/2 ( n/k)n (unabh¨angig von k). Da limk→∞ F(ak ) = n−n/2 und F(0) = 0, ist F im Nullpunkt nicht stetig.

Seien aν , bν ∈ R, aν der abgeschlossene Quader Q := {(x1 , . . , xn ) ∈ Rn : aν xν bν , ν = 1, 2, . , n. Dann ist bν } kompakt in Rn . ¨ Beweis. Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von Q. Annahme. Q kann nicht durch endlich viele Uiκ u¨ berdeckt werden. Um diese Annahme zum Widerspruch zu f¨uhren, konstruieren wir durch vollst¨andige Induktion eine Folge von abgeschlossenen Teilquadern Q 0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . I. Differentialrechnung im Rn 28 mit folgenden Eigenschaften: i) Qm kann nicht durch endlich viele Uiκ u¨ berdeckt werden.