Analyse 2 by Giroux A. PDF

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord l. a. définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et los angeles fonction gamma. On y étudie enfin l. a. représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui believe que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions keeps et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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15 cosh x 10 5 -4 -2 2 4 sinh x -5 Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques Sa d´eriv´ee ´etant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonction strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´erivable, l’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R. En r´esolvant l’´equation quadratique e2x − 1 = 2 y ex `a l’aide de la formule de Vi`ete, on trouve ex = y + 31 1 + y2 c’est-`a-dire arcsinh y = log(y + 1 + y 2 ). En d´erivant cette derni`ere relation ou en utilisant la formule pour la d´eriv´ee d’une fonction inverse, on obtient enfin d arcsinh y = dy 1 1 + y2 .

3 Les fonctions trigonom´ etriques inverses La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´efinie par la relation 1 1 − t2 dt + y arccos y = 2 1 − y2 y comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´erivable sur ]−1, 1[, avec d −1 . arccos y = dy 1 − y2 41 C’est une fonction strictement d´ecroissante et l’on a cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1] et arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π]. Cependant, la fonction cosinus ´etant une fonction paire et p´eriodique de p´eriode 2π, elle n’admet pas d’inverse globale et de la relation cos x = y on ne peut pas conclure que x = arccos y.

Montrer que arctanh y = 1 1+y log . 2 1−y Calculer la d´eriv´ee de cette fonction et tracer son graphe. 35 ´ FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 5 Les fonctions trigonom´etriques sont ´etroitement associ´ees `a l’´etude des ph´enom`enes p´eriodiques. 1 D´ efinition des fonctions trigonom´ etriques Le nombre π est, par d´efinition, ´egal `a l’aire du disque de rayon unit´e : 1 1 − x2 dx. π=2 −1 Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons 1 1 − t2 dt + y arccos y = 2 1 − y2 y (figure (9) — arccos y repr´esente l’aire du secteur (pour v´erifier cette affirmation, distinguer suivant que y est positif ou n´egatif)).

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by Kevin
4.4

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